媒介変数表示された関数の微分

【解答のポイント】
媒介変数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)により\(\hspace{1pt}x=f(t)\hspace{1pt},\hspace{2pt}y=g(t)\hspace{2pt}\)と表されるとき\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)は $${ \frac{dy}{dx}=\Large \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$$ と求められます。

【解答】
\(x\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で微分すると $${\frac{dx}{dt} = 2t+2}$$ \(y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で微分すると $${\frac{dy}{dt} = 3t^2-3}$$ よって、\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の関数で表すと $$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \Large \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\[1.5em] & = \frac{3t^2-3}{2t+2}\\[1em] & = \frac{3(t+1)(t-1)}{2(t+1)}\\[1em] & = \frac{3}{2}(t-1)\\[1em] \end{aligned}$$

となります。