◆第問目！
問題の方程式の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分して\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を求めます。
方程式に含まれる\(\hspace{1pt}y^\frac{1}{3}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分するときは、合成関数の微分から $$\begin{aligned} \frac{d (y^\frac{1}{3} )}{dx} & = \frac{d(y^\frac{1}{3} )}{dy}\frac{dy}{dx}\\[0.8em] &= \frac{1}{3} y^{-\frac{2}{3}} \frac{dy}{dx} \\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
つまり、『\(\hspace{1pt}y^\frac{1}{3}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)で微分した\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{d(y^\frac{1}{3})}{dy}\hspace{1pt}\)』と『\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)で微分した\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)』の積として計算します。
【解答のポイント】
問題の方程式の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分して\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を求めます。
方程式に含まれる\(\hspace{1pt}y^\frac{1}{3}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分するときは、合成関数の微分から $$\begin{aligned} \frac{d (y^\frac{1}{3} )}{dx} & = \frac{d(y^\frac{1}{3} )}{dy}\frac{dy}{dx}\\[0.8em] &= \frac{1}{3} y^{-\frac{2}{3}} \frac{dy}{dx} \\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
【解答】
問題の方程式
$${x^\frac{1}{3} +y^\frac{1}{3} =1}$$
の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分すると
すなわち、\(y \neq 0\hspace{1pt}\)のとき $$\begin{aligned} \hspace{10pt} \frac{dy}{dx} & = -\frac{ x^{-\frac{2}{3}}}{y^{-\frac{2}{3}}}\hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt} & = - \left( \frac{y}{x} \right)^\frac{2}{3}\hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned}$$
となります。