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tanxの導関数

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★★ 】
　関数\(\displaystyle\hspace{2pt}y=\tan x\hspace{2pt}\)の導関数を定義に従って求めよ
　必要であれば\(\displaystyle\hspace{2pt}\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1\hspace{2pt}\)を用いてよい

関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は以下の式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

また、計算過程では三角関数の加法定理

$${\hspace{10pt}\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\hspace{10pt}}$$

を使用します

【答え】
　\(\displaystyle y'= \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}\)
　

【解答のポイント】
関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は以下の式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

また、計算過程では三角関数の加法定理

$${\hspace{10pt}\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\hspace{10pt}}$$

を使用します。
　

【解答】
導関数の定義 $${f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ から

$$\begin{aligned} \hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0}\frac{\tan (x+h)- \tan x}{h}\hspace{10pt}\\[1em] & = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left(\frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)} - \frac{\sin x}{\cos x}\right)\\[1em] & = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\frac{\sin(x+h) \cos x - \cos(x+h) \sin x}{\cos(x+h)\cos x}\hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned}$$

となります。

ここで、三角関数の加法定理から

$${\hspace{10pt}\sin(x+h-x) = \sin (x+h) \cos x - \cos (x+h) \sin x \hspace{10pt}}$$

となることから変形すると

$$\begin{aligned} \hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\frac{\sin(x+h-x) }{\cos(x+h)\cos x}\hspace{10pt}\\[0.5em] & = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1 }{\cos(x+h)\cos x}\\[0.5em] & = 1 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}\\[0.5em] & = \frac{1}{\cos^2 x}\\[0.5em] \end{aligned}$$

となります。

したがって、\(\displaystyle {y=\tan x}\) の導関数は \(\displaystyle{y'= \frac{1}{\cos^2 x}}\) と求められます。
　

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・導関数の定義

【出題範囲】　【難易度】



　



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