【解答】
導関数の定義
$${f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
から
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0}\frac{\tan (x+h)- \tan x}{h}\hspace{10pt}\\[1em]
& = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left(\frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)} - \frac{\sin x}{\cos x}\right)\\[1em]
& = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\frac{\sin(x+h) \cos x - \cos(x+h) \sin x}{\cos(x+h)\cos x}\hspace{10pt}\\[0.5em]
\end{aligned}$$
となります。
ここで、三角関数の加法定理から
$${\hspace{10pt}\sin(x+h-x) = \sin (x+h) \cos x - \cos (x+h) \sin x \hspace{10pt}}$$
となることから変形すると
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\frac{\sin(x+h-x) }{\cos(x+h)\cos x}\hspace{10pt}\\[0.5em]
& = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1 }{\cos(x+h)\cos x}\\[0.5em]
& = 1 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}\\[0.5em]
& = \frac{1}{\cos^2 x}\\[0.5em]
\end{aligned}$$
となります。
したがって、\(\displaystyle {y=\tan x}\) の導関数は \(\displaystyle{y'= \frac{1}{\cos^2 x}}\) と求められます。
【関連するページ】
・導関数の定義