cosxの導関数

【答え】
　\(\displaystyle y'= -\sin x\hspace{1pt}\)
　

【解答のポイント】
関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は以下の式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

また、計算過程では三角関数の加法定理

を使用します
　

【解答】
導関数の定義 $${f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ から $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\cos (x+h)- \cos x}{h}$$ となります。

ここで、三角関数の加法定理

から

となります。

ここで、\(\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1\hspace{1pt}\)を用いて第二項の\(\displaystyle\hspace{1pt}\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h}\hspace{1pt}\)を変形すると

となります。

以上から

となります。

したがって、\(\displaystyle {y=\cos x}\) の導関数は \(\displaystyle{y'= -\sin x}\) と求められます。
　

【関連するページ】
・導関数の定義