【解答】
導関数の定義
$${f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
から
$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h)- \sin x}{h}$$
となります。
ここで、三角関数の加法定理
$${\hspace{10pt}\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\hspace{10pt}}$$
から
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0}\frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h)- \sin x}{h}\hspace{10pt}\\[0.5em]
& = \lim_{h \to 0} \left( \cos x\frac{\sin h}{h} - \sin x \frac{1-\cos h}{h}\right)\\[0.5em]
\end{aligned}$$
となります。
ここで、\(\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1\hspace{1pt}\)を用いて第二項の\(\displaystyle\hspace{1pt}\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h}\hspace{1pt}\)を変形すると
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h} & =\lim_{h \to 0} \frac{(1-\cos h)(1+\cos h)}{h(1+\cos h)}\hspace{10pt}\\[0.5em]
& = \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos^2 h}{h(1+\cos h)}\\[0.5em]
& = \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h(1+\cos h)}\\[0.5em]
& = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}\cdot \frac{\sin h}{1+ \cos h}\\[0.5em]
& = 1 \cdot \frac{0}{2}\\[0.5em]
& = 0\\[0.5em]
\end{aligned}$$
となります。
以上から
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0} \left( \cos x\frac{\sin h}{h} - \sin x \frac{1-\cos h}{h}\right)\hspace{10pt}\\[0.5em]
& = \cos x \cdot 1 - 0\\[0.5em]
& = \cos x\\[0.5em]
\end{aligned}$$
となります。
したがって、\(\displaystyle {y=\sin x}\) の導関数は \(\displaystyle{y'= \cos x}\) と求められます。
【関連するページ】
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