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分数関数1/(x+1)の導関数

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★ 】
　関数\(\displaystyle\hspace{2pt}y=\frac{1}{x+1}\hspace{2pt}\)の導関数を定義に従って求めよ

関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は以下の式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

【答え】
　\(\displaystyle y'= -\frac{1}{(x+1)^2}\hspace{1pt}\)
　

【解答のポイント】
関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は以下の式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

【解答】
導関数の定義 $${f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ から

$$\begin{aligned} \hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h+1}-\frac{1}{x+1}\right)\hspace{10pt}\\[0.5em] & = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{x+1-(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\\[0.5em] & = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{-h}{(x+h+1)(x+1)}\\[0.5em] & = \lim_{h \to 0}\frac{-1}{(x+h+1)(x+1)}\\[0.5em] & = -\frac{1}{(x+1)^2}\\[0.5em] \end{aligned}$$

となります。

したがって、\(\displaystyle {y=\frac{1}{x+1}}\) の導関数は \(\displaystyle{y'= -\frac{1}{(x+1)^2}}\) と求められます。
　

【関連するページ】
・導関数の定義

【出題範囲】　【難易度】



　



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