【解答】
導関数の定義
$${f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
から
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\[0.5em]
& =\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\hspace{10pt}\\[0.5em]
& = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{(x+h)-x}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\[0.5em]
& = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\[0.5em]
& = \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\[0.5em]
& = \frac{1}{2\sqrt{x}}\\[0.5em]
\end{aligned}$$
となります。
したがって、\(\displaystyle {y=\sqrt{x}}\) の導関数は \(\displaystyle{y'= \frac{1}{2\sqrt{x}}}\) と求められます。
【関連するページ】
・導関数の定義