指数関数を含む不等式から定数の範囲を求める問題

【解答のポイント】
ある区間において\(\hspace{1pt}f(x) > a\hspace{1pt}\)であることは、その区間で関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の最小値を\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)としたときに、\(m > a\hspace{1pt}\)であることを意味します。

本問では、不等式の右辺を左辺に移項し $${8^x - 3\cdot 2^{2+x} + a > 0}$$ とし、左辺の最小値が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)より大きくなるという条件から、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を求めます。

問題の不等式は \( 2^x =t\hspace{1pt}\)とおくことで、\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)に関する三次関数の最小値の問題と考えることができます。

不等式に含まれる指数は任意の有理数\(\hspace{1pt}m,n\hspace{1pt}\)について成り立つ、以下の指数の公式から変形します。 $$\begin{aligned} \hspace{10pt}a^m \times a^n = & a^{m+n}\\[0.5em] (a^m)^n & = a^{mn}\\[0.5em] (ab)^n & = a^n b^n \\[0.5em] \end{aligned}$$

【解答】
不等式の右辺を左辺に移項し、左辺を\(f(x)\hspace{1pt}\)とおいて変形すると

となります。

ここで\(\hspace{2pt}2^x =t\hspace{1pt}\)とすると $${f(t) = t^3 -12 t +a }$$ となります。

このとき、\( x > 0\hspace{2pt}\)であることから、\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の範囲は $${ t > 1}$$ となります。

\(t\hspace{1pt}\)について微分すると $${f'(t) = 3 t^2 -12 }$$ となります。

\({f'(t)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 3 t^2 -12 & =0\\[0.5em] 3 ( t^2 -4) & =0\\[0.5em] 3 (t -2)(t+2) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\displaystyle\hspace{3pt}t = \pm 2\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(\displaystyle t = \pm 2\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(t)}\) の符号の変化を調べます。

\({\displaystyle f'(t)=3 (t -2)(t+2) }\) より
　\({\displaystyle t < -2}\)　　　のとき \({f'(t) > 0}\)
　\({\displaystyle -2 < t < 2 \hspace{2pt}}\)　のとき \({f'(t) < 0}\)
　\({\displaystyle t >2 }\) 　　　　のとき \({f'(t) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(t)}\) は \({\displaystyle t = 2 }\) で極小値、\({\displaystyle t= -2}\) で極大値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、\(\hspace{1pt} t > 1\hspace{1pt}\)において関数\(\displaystyle \hspace{1pt} f(t)= t^3 -12 t +a\hspace{3pt}\)は
　\(\displaystyle t = 2\hspace{1pt}\)で最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}-16 + a\hspace{1pt}\)
となります。

したがって、\(\hspace{1pt} t > 1\hspace{1pt}\)において関数\(\displaystyle \hspace{1pt} f(t)= t^3 -12 t +a\hspace{3pt}\)が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)より大きいとき $${-16 + a > 0}$$ すなわち $${ a > 16}$$ が求める条件となります。