微分から指数関数の最大値・最小値を求める問題

【解答のポイント】
関数に含まれる指数を\(\hspace{2pt} 3^x =t\hspace{1pt}\)とおくことで、\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)に関する三次関数の最大値・最小値の問題と考えることができます。

指数は任意の有理数\(\hspace{1pt}m,n\hspace{1pt}\)について成り立つ、以下の指数の公式から変形します。 $$\begin{aligned} \hspace{10pt}a^m \times a^n = & a^{m+n}\\[0.5em] (a^m)^n & = a^{mn}\\[0.5em] (ab)^n & = a^n b^n \\[0.5em] \end{aligned}$$

【解答】
問題の関数を\(f(x)\hspace{1pt}\)とおいて変形すると

となります。

ここで\(\hspace{2pt}3^x =t\hspace{1pt}\)とすると $${f(t) = \frac{1}{3}t^3 -6 t^2 +27 t + 2 }$$ となります。

このとき、\( x \geqq 0\hspace{2pt}\)であることから、\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の範囲は $${ t \geqq 1}$$ となります。

\(t\hspace{1pt}\)について微分すると $${f'(t) = t^2 -12t +27 }$$ となります。

\({f'(t)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} t^2 -12t +27 & =0\\[0.5em] (t-3)(t-9) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\displaystyle\hspace{3pt}t = 3 , 9\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(\displaystyle t = 3 , 9\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(t)}\) の符号の変化を調べます。

\({\displaystyle f'(t)= (t-3)(t-9) }\) より
　\({\displaystyle t < 3}\)　　　　のとき \({f'(t) > 0}\)
　\({\displaystyle 3< t < 9 \hspace{2pt}}\)　　のとき \({f'(t) < 0}\)
　\({\displaystyle t >9 }\) 　　　　のとき \({f'(t) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(t)}\) は \({\displaystyle t = 9 }\) で極小値、\({\displaystyle t= 3}\) で極大値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、\(\hspace{1pt} t \geqq 1\hspace{1pt}\)において関数\(\displaystyle \hspace{1pt} f(t)= \frac{1}{3}t^3 -6 t^2 +27 t + 2\hspace{3pt}\)は
　\(\displaystyle t = 9\hspace{1pt}\)で最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)
　\(\displaystyle t = 3\hspace{1pt}\)で最大値\(\displaystyle\hspace{1pt}38\hspace{1pt}\)
となります。

ここで、\(3^x = t\hspace{2pt}\)であることから問題の関数は
　\(\displaystyle x = 2\hspace{1pt}\)で最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)
　\(\displaystyle x = 1\hspace{1pt}\)で最大値\(\displaystyle\hspace{1pt}38\hspace{1pt}\)
となります。