三次方程式が3個の実数解を持つ条件

【解答のポイント】

文字の定数\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)を含む場合は定数分離による解法が定石ですが、本問は定数項以外にも文字\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)が含まれているため、定数項を移項する定数分離ができません。

そこで、関数\(\hspace{1pt}y=f(x)\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}x=\alpha,\beta\hspace{1pt}\)に極値をもつときに、極値の積\(\hspace{1pt}f(\alpha)f(\beta)\hspace{1pt}\)の符号が実数解の個数に対応するという性質を利用して解きます。

\(f(\alpha)f(\beta) < 0\hspace{1pt}\)のとき、以下のように\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸と\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の共有点を持つため、方程式\(\hspace{1pt}f(x)=0\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の実数解を持ちます。
(グラフは\(\hspace{1pt}x^3\hspace{1pt}\)の係数が正ですが、係数が負の場合も同様になります。)

【解答】
\(f(x)=x^3-3kx +k\hspace{1pt}\)とすると $$\begin{aligned} f'(x)& =3x^2 -3k\\[0.5em] & =3(x^2-k)\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。

ここで、関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)が極大値と極小値を持つとき、\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)が異なる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの解を持つため、\(k > 0\hspace{1pt}\)となります。

\( k > 0\hspace{1pt}\)であるとき、\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}x = \pm \sqrt{k}\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(\displaystyle x =\pm \sqrt{k}\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=3x(x^2-k) }\) より
　　\({\displaystyle x < -\sqrt{k}}\)　　　 のとき \({f'(x) > 0}\)
　　\({\displaystyle -\sqrt{k} < x < \sqrt{k}\hspace{2pt}}\)のとき \({f'(x) < 0}\)
　　\({ x > \sqrt{k}}\) 　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は
\({\displaystyle x = -\sqrt{k} }\) で極大値\(\hspace{1pt}f(-\sqrt{k})=k( 2\sqrt{k}+1)\hspace{1pt}\)
\({x=\sqrt{k}}\) で極小値\(\hspace{1pt}f(\sqrt{k})=k( -2\sqrt{k}+1)\hspace{1pt}\)
をとります。

ここで、極値の積を考えると $$\begin{aligned} & f(-\sqrt{k})f(\sqrt{k}) \\[0.5em] & =k( 2\sqrt{k}+1) \cdot k( -2\sqrt{k}+1)\\[0.5em] & =k^2 (1-4 k)\\[0.5em] \end{aligned}$$ 極大値と極小値が存在するとき、\(k > 0\hspace{1pt}\)であることから、極値の積の符号は\(\hspace{1pt}(1-4k)\hspace{1pt}\)により決まります。

問題の方程式の実数解の個数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個であるとき、\(f(-\sqrt{k})f(\sqrt{k}) < 0 \hspace{1pt}\)であればよいので\(\hspace{1pt}1-4k < 0\hspace{1pt}\)すなわち $${k > \frac{1}{4}}$$ が求める条件となります。