三次関数が極値を持たないための条件

【解答のポイント】

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の極値では、\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)を満たす解\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(f'(x)\hspace{1pt}\)の符号の正負が変化します。

よって『関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)が極値を持たないための条件』とは、\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)を満たす解\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(f'(x)\hspace{1pt}\)の符号が変化しないということになります。

\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)は二次方程式となるため、判別式を利用して条件を求めます。

【解答】

\(f(x)=x^3 + ax^2 - bx +3\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = 3x^2 +2ax-b}$$ となります。

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)が極値を持たないための条件は、\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)を満たす解\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(f'(x)\hspace{1pt}\)の符号が変化しないことになります。

つまり、二次方程式\(\hspace{1pt}3x^2 +2ax-b=0\hspace{1pt}\)が重解を持つか、解を持たないときに極値を持たないことから、二次方程式の判別式\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)に対して $${D \leqq 0}$$ が求める条件となります。

したがって $${a^2 +3b \leqq 0}$$ すなわち $${b \leqq -\frac{a^2}{3}}$$ となります。

また、極値をもたないときの\(\hspace{1pt}(a,b)\hspace{1pt}\)の領域を図示すると、以下の斜線部(ただし、境界線は含む)となります。