【解答のポイント】
極限値を微分係数の定義
$${\displaystyle}f'(a)=\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$$
の形が現れるように変形します。
【解答】
与えられた式を変形すると、以下のように変形されます。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \lim_{x \rightarrow a}{ \frac{x^2 f(a)- a^2 f(x)}{x^2-a^2}}\\[1em]
& = \lim_{x \rightarrow a}{ \frac{x^2 f(a) -a^2 f(a) + a^2 f(a)- a^2f(x)}{x^2-a^2}}\hspace{10pt}\\[1em]
& = \lim_{x \rightarrow a}{ \frac{(x^2-a^2) f(a) - a^2( f(x) - f(a))}{x^2-a^2}}\\[1em]
& = \lim_{x \rightarrow a}\left\{{f(a) - \frac{a^2}{x+a} \cdot\frac{ f(x) - f(a)}{x-a}}\right\}\\[1em]
& = f(a) -\frac{a}{2}f'(a)\\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・導関数の定義