文字を含む三次関数の最大値

【答え】
\( \hspace{2pt} 0 < a < 1\hspace{1pt}\)のとき、\({x=\sqrt{a}\hspace{1pt}}\)で最大値\(\hspace{1pt}2a \sqrt{a} +b\hspace{1pt}\)

\( \hspace{2pt} a \geqq 1\hspace{1pt}\)のとき、\({\hspace{1pt}x=1\hspace{1pt}}\)で最大値\(\hspace{1pt}-1+3a+b\hspace{1pt}\)
　

【解答のポイント】
本問のような定数を含む関数の最大値・最小値を求める問題は、定数の値によって場合分けが必要となります。

本問は極小値の値が定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の値によって決まるため、極小値が定義域\(\hspace{2pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}\)に含まれるかどうかで場合分けが必要になります。

極小値・極大値に定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)が含まれる場合、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の値により増減表を書き分けることで、最大値・最小値が分かりやすくなります。
　

【解答】
\(\displaystyle f(x)=-x^3 +3ax+b\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = -3x^2 + 3a}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} -3x^2 + 3a & =0\\[0.5em] -3(x^2-a) & =0\\[0.5em] -3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a}) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = \pm \sqrt{a}\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = \pm \sqrt{a}\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=-3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a}) }\) より
　\({x < -\sqrt{a}}\) 　　 のとき \({f'(x) < 0}\)
　\({-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) >0}\)
　\({ x > \sqrt{a}}\) 　 　　のとき \({f'(x) < 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=-\sqrt{a}}\) で極小値、\({x=\sqrt{a}}\) で極大値をとります。

定義域が\(\hspace{2pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}\)であるため、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の値によって、極大値が定義域\(\hspace{2pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}\)に含まれるかが変化します。

よって、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を
　・(1)\(\hspace{5pt}0 < a < 1\hspace{1pt}\)
　・(2)\(\hspace{5pt}a \geqq 1\hspace{1pt}\)
と場合分けして最大値を求めます。
　

【 (1)\(\hspace{3pt}0 < a < 1\hspace{1pt}\)のとき 】
\(\hspace{1pt}0 < \sqrt{a} < 1\hspace{1pt}\)すなわち\(\hspace{1pt}0 < a < 1\hspace{1pt}\)の場合に増減表を作成すると、以下のようになります。

上記の増減表から、\({x=\sqrt{a}}\) で最大値\(\hspace{1pt}2a \sqrt{a} +b\hspace{1pt}\)となります。
　

【 (2)\(\hspace{3pt}a \geqq 1\hspace{1pt}\)のとき 】
増減表を作成すると、以下のようになります。

上記の増減表から
\({x=1}\) で最大値\(\hspace{1pt}-1+3a+b\hspace{1pt}\)
となります。
　

以上から、求める最大値は

\( \hspace{2pt} 0 < a < 1\hspace{1pt}\)のとき、\({x=\sqrt{a}\hspace{1pt}}\)で最大値\(\hspace{1pt}2a \sqrt{a} +b\hspace{1pt}\)

\( \hspace{2pt} a \geqq 1\hspace{1pt}\)のとき、\({\hspace{1pt}x=1\hspace{1pt}}\)で最大値\(\hspace{1pt}-1+3a+b\hspace{1pt}\)

となります。
　

【関連するページ】
　・増減表の作り方