文字を含む三次関数の最大値・最小値

【解答】

\(\displaystyle f(x)=-x^3 +3ax+b\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = -3x^2 + 3a}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} -3x^2 + 3a & =0\\[0.5em] -3(x^2-a) & =0\\[0.5em] -3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a}) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = \pm \sqrt{a}\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = \pm \sqrt{a}\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=-3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a}) }\) より
　\({x < -\sqrt{a}}\) 　　 のとき \({f'(x) < 0}\)
　\({-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) >0}\)
　\({ x > \sqrt{a}}\) 　 　　のとき \({f'(x) < 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=-\sqrt{a}}\) で極小値、\({x=\sqrt{a}}\) で極大値をとります。

定義域が\(\hspace{2pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}\)であるため、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の値によって、極大値が定義域\(\hspace{2pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}\)に含まれるかが変化します。

よって、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を
　・(1)\(\hspace{5pt}0 < a < 1\hspace{1pt}\)
　・(2)\(\hspace{5pt}a \geqq 1\hspace{1pt}\)
と場合分けして最大値・最小値を求めます。

【 (1)\(\hspace{3pt}0 < a < 1\hspace{1pt}\)のとき 】
\(\hspace{1pt}0 < \sqrt{a} < 1\hspace{1pt}\)すなわち\(\hspace{1pt}0 < a < 1\hspace{1pt}\)の場合に増減表を作成すると、以下のようになります。

上記の増減表から、\({x=\sqrt{a}}\) で最大値\(\hspace{1pt}2a \sqrt{a} +b\hspace{1pt}\)となります。

また、\({f(0)\hspace{1pt}}\)もしくは\({f(1)\hspace{1pt}}\)のうち小さい方が最小値となります。
\({f(0)\hspace{1pt}}\)と\({\hspace{1pt}f(1)\hspace{1pt}}\)の差を求めると $$\begin{aligned} & f(0) - f(1)\\[0.5em] & = b - (-1+3a+b)\\[0.5em] & = 1 -3a \\[0.5em] \end{aligned}$$

すなわち
\(\displaystyle a > \frac{1}{3}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{1pt}f(0) < f(1)\hspace{1pt}\)

\(\displaystyle a = \frac{1}{3}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{1pt}f(0) = f(1)\hspace{1pt}\)

\(\displaystyle a < \frac{1}{3}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{1pt}f(0) > f(1)\hspace{1pt}\)

となります。

つまり
\(\displaystyle a > \frac{1}{3}\hspace{1pt}\)のとき \({x=0}\) で最小値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)

\(\displaystyle a = \frac{1}{3}\hspace{1pt}\)のとき \({x=0 , 1}\) で最小値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)

\(\displaystyle a < \frac{1}{3}\hspace{1pt}\)のとき \({x=1}\) で最小値\(\hspace{1pt}-1+3a+b\hspace{1pt}\)

となります。

【 (2)\(\hspace{3pt}a \geqq 1\hspace{1pt}\)のとき 】
増減表を作成すると、以下のようになります。

上記の増減表から
\({x=0}\) で最小値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)
\({x=1}\) で最大値\(\hspace{1pt}-1+3a+b\hspace{1pt}\)
となります。

以上から、求める最大値・最小値は

【\( \hspace{2pt} 0 < a < \frac{1}{3}\hspace{1pt}\)のとき】
\({x=1}\) で最小値\(\hspace{1pt}-1+3a+b\hspace{1pt}\)
\({x=\sqrt{a}}\) で最大値\(\hspace{1pt}2a\sqrt{a}+b\hspace{1pt}\)

【\( \hspace{2pt} a = \frac{1}{3}\hspace{1pt}\)のとき】
\({x=0,1}\) で最小値\(\hspace{1pt} b\hspace{1pt}\)
\({x=\frac{1}{\sqrt{3}}}\) で最大値\(\hspace{1pt} \frac{2}{3\sqrt{3}}+b\hspace{1pt}\)

【\( \hspace{2pt} \frac{1}{3} < a < 1 \hspace{1pt}\)のとき】
\({x=0}\) で最小値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)
\({x=\sqrt{a}}\) で最大値\(\hspace{1pt}2a\sqrt{a}+b\hspace{1pt}\)

【\( \hspace{2pt} a \geqq 1 \hspace{1pt}\)のとき】
\({x=0}\) で最小値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)
\({x=1}\) で最大値\(\hspace{1pt}-1+3a+b\hspace{1pt}\)