文字を含む三次関数の最大値・最小値

【解答】

\(\displaystyle f(x)=2x^3 -3ax^2+b\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = 6x^2 -6ax}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 6x^2 -6ax & =0\\[0.5em] 6x(x-a) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = 0,a\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = 0,a\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=6x(x-a) }\) より
　　\({x < 0}\)　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
　　\({0 < x < a\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
　　\({ x > a}\) 　　 のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=0}\) で極大値、\({x=a}\) で極小値をとります。

定義域が\(\hspace{2pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}\)、また定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}a > 0\hspace{1pt}\)であることから、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の値によって、極小値が定義域\(\hspace{2pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}\)に含まれるかが変化します。

よって、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を
　・(1)\(\hspace{5pt}0 < a < 1\hspace{1pt}\)
　・(2)\(\hspace{5pt}a \geqq 1\hspace{1pt}\)
と場合分けして最大値・最小値を求めます。

【 (1)\(\hspace{3pt}0 < a < 1\hspace{1pt}\)のとき 】
増減表を作成すると、以下のようになります。

上記の増減表から、\({x=a}\) で最小値\(\hspace{1pt}-a^3+b\hspace{1pt}\)となります。

また、\({f(0)\hspace{1pt}}\)もしくは\({f(1)\hspace{1pt}}\)のうち大きい方が最大値となります。
\({f(0)\hspace{1pt}}\)と\({\hspace{1pt}f(1)\hspace{1pt}}\)の差を求めると $$\begin{aligned} & f(0) - f(1)\\[0.5em] & = b - (2-3a + b)\\[0.5em] & = -2 + 3a\\[0.5em] \end{aligned}$$

すなわち
\(\displaystyle a > \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{1pt}f(0) > f(1)\hspace{1pt}\)

\(\displaystyle a = \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{1pt}f(0) = f(1)\hspace{1pt}\)

\(\displaystyle a < \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{1pt}f(0) < f(1)\hspace{1pt}\)

となります。

つまり
\(\displaystyle a > \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)のとき \({x=0}\) で最大値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)

\(\displaystyle a = \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)のとき \({x=0 , 1}\) で最大値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)

\(\displaystyle a < \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)のとき \({x=1}\) で最大値\(\hspace{1pt}2-3a+b\hspace{1pt}\)

となります。

【 (2)\(\hspace{3pt}a \geqq 1\hspace{1pt}\)のとき 】
増減表を作成すると、以下のようになります。

上記の増減表から
\({x=1}\) で最小値\(\hspace{1pt}2-3a+b\hspace{1pt}\)
\({x=0}\) で最大値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)
となります。

以上から、求める最大値・最小値は

【\( \hspace{2pt} 0 < a < \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)のとき】
\({x=a}\) で最小値\(\hspace{1pt}-a^3+b\hspace{1pt}\)
\({x=1}\) で最大値\(\hspace{1pt}2-3a+b\hspace{1pt}\)

【\( \hspace{2pt} a = \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)のとき】
\({x=\frac{2}{3}}\) で最小値\(\hspace{1pt}-\frac{8}{27}+b\hspace{1pt}\)
\({x=0 , 1}\) で最大値\(\hspace{1pt} b\hspace{1pt}\)

【\( \hspace{2pt} \frac{2}{3} < a < 1 \hspace{1pt}\)のとき】
\({x=a}\) で最小値\(\hspace{1pt}-a^3+b\hspace{1pt}\)
\({x=0}\) で最大値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)

【\( \hspace{2pt} a \geqq 1 \hspace{1pt}\)のとき】
\({x=1}\) で最小値\(\hspace{1pt}2-3a+b\hspace{1pt}\)
\({x=0}\) で最大値\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)