方程式が異なる3つの実数解をもつ条件

【解答】

まず、方程式\(\hspace{1pt}2x^3-3x^2-a=0\hspace{1pt}\)の定数項のみを右辺に移します。 $${2x^3-3x^2 =a}$$ 次に、左辺と右辺をそれぞれ $$\begin{aligned} f(x) & =2x^3-3x^2\\[0.5em] g(x) & =a\\[0.5em] \end{aligned}$$ とします。このとき、2つの関数の交点の個数が、元の方程式の実数解の個数となります。

\(f(x)=2x^3-3x^2\hspace{1pt}\)のとき $${f'(x) = 6x^2 -6x}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 6x^2 -6x& =0\\[0.5em] 6x(x-1) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = 0,1\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = 0,1\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=6x(x-1) }\) より
　　\({x < 0}\)　　 のとき \({f'(x) > 0}\)
　　\({0 < x < 1\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
　　\({ x > 1}\) 　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=0}\) で極大値、\({x=1}\) で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、\(f(x)=2x^3 -3x^2\hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。

以上から、\(f(x)=2x^3 -3x^2\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}g(x)=a\hspace{1pt}\)の交点の個数が求める方程式の実数解の個数となるため、問題の方程式が異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの実数解を持つときの定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)は $${-1 < a < 0}$$ となります。