実数解の個数を求める問題

【解答】

まず、方程式\(\hspace{1pt}x^3 -3x^2 -9x -a=0\hspace{1pt}\)の定数項のみを右辺に移項します。 $${x^3 -3x^2 -9x =a}$$ 次に、左辺と右辺をそれぞれ $$\begin{aligned} f(x) & =x^3 -3x^2 -9x\\[0.5em] g(x) & =a\\[0.5em] \end{aligned}$$ とします。上記の2つの関数の交点の個数が、求める方程式の実数解の個数となります。

\(f(x)=x^3 -3x^2 -9x\hspace{1pt}\)のとき $${f'(x) = 3x^2 -6x -9}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 3x^2 -6x -9 & =0\\[0.5em] 3(x^2-2x-3) & =0\\[0.5em] 3(x+1)(x-3) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = -1,3\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = -1,3\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=3(x+1)(x-3) }\) より
　　\({x < -1}\)　　 のとき \({f'(x) > 0}\)
　　\({-1 < x < 3\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
　　\({ x > 3}\) 　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=-1}\) で極大値、\({x=3}\) で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、\(f(x)=x^3 -3x^2 -9x\hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。

以上から、\(f(x)=x^3 -3x^2 -9x\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}g(x)=a\hspace{1pt}\)の交点の個数が求める方程式の実数解の個数となるため
　\(a > 5 , a < -27\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}1\hspace{1pt}\)個
　\(a = 5 , -27\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}2\hspace{1pt}\)個
　\(-27 < a < 5\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}3\hspace{1pt}\)個
となります。