三次関数が極値を持つための条件

【解答のポイント】

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の極値では、\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)を満たす解\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(f'(x)\hspace{1pt}\)の符号の正負が変化します。

よって『関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)が極値を持つための条件』とは、\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)を満たす解\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(f'(x)\hspace{1pt}\)の符号が変化することになります。

\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)は二次方程式となり、二つの異なる実数解を持つときに極値を持ちます。
よって、判別式を利用して二つの異なる実数解を持つときの定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の条件を求めます。

【解答】

\(f(x)=x^3 + ax^2 - ax +2\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = 3x^2 +2ax-a}$$ となります。

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)が極値を持つための条件は、\(f'(x)=0\hspace{1pt}\)を満たす解\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(f'(x)\hspace{1pt}\)の符号が変化することになります。

つまり、二次方程式\(\hspace{1pt}3x^2 +2ax-a=0\hspace{1pt}\)が二つの異なる実数解を持つときに極値を持つため、二次方程式の判別式\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)に対して $${D > 0}$$ が求める条件となります。

したがって $${a^2 +3a > 0}$$ $${a(a +3) > 0}$$ すなわち $${a < -3 \hspace{1pt}, \hspace{1pt}a > 0}$$ が求める条件となります。