三次関数が常に増加するための条件

【解答のポイント】

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)が常に増加するとき、\(f'(x)\geqq 0\hspace{1pt}\)がすべての\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について成り立ちます。

\(f'(x)\hspace{1pt}\)は二次関数となるため、判別式を利用して常に\(\hspace{1pt}f'(x)\geqq 0\hspace{1pt}\)となる条件を求めます。

【解答】

\(f(x)=2x^3 + ax^2 + x -1\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = 6x^2 +2ax+1}$$ となります。

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)が常に増加するとき、\(f'(x)\geqq 0\hspace{1pt}\)がすべての\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について成り立つことになります。

つまり、二次方程式\(\hspace{1pt} 6x^2 +2ax+1=0\hspace{1pt}\)の判別式\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)に対して $${D \leqq 0}$$ が求める条件となります。

したがって $${a^2 -6 \leqq 0}$$ $${(a-\sqrt{6})(a+\sqrt{6}) \leqq 0}$$ すなわち $${-\sqrt{6} \leqq a \leqq \sqrt{6}}$$ となります。