球に内接する直円柱の体積と高さの最大値

【解答】
下図のように、半径\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の球に内接する直円柱の高さを\(\hspace{1pt}2x\hspace{1pt}\)とおきます。

直円柱は半径\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の球に内接しているため $${ 0 < x < a}$$ の関係があります。

また、直円柱の底面の半径は $${\sqrt{a^2 - x^2}}$$ と表されます。

ここで、直円柱の体積を\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)とすると

となります。

また、上式を微分すると $$y' = 2\pi ( - 3x^2 + a^2)$$ となります。

\(y'=0\hspace{1pt}\)を計算すると $$\begin{aligned} 2\pi ( - 3x^2 + a^2) & =0\\[0.5em] 2\pi (a-\sqrt{3}x) (a+\sqrt{3}x) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$

となることから、\( 0 < x < a\hspace{1pt}\)の範囲で解を求めると $$ x = { \frac{\sqrt{3} }{3}a}$$ となります。

ここで、\( 0 < x < a\hspace{1pt}\)の範囲で増減表をかくと以下のようになります。

したがって、\(y\hspace{1pt}\)は\(\displaystyle\hspace{1pt}x=\frac{\sqrt{3} }{3}a\hspace{1pt}\)において最大値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{4\sqrt{3}}{9}\pi a^3\hspace{1pt}\)をとります。

以上から、半径\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の球に内接する直円柱の体積の最大値は\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{4\sqrt{3}}{9}\pi a^3\hspace{1pt}\)、そのときの直円柱の高さは\(\displaystyle\hspace{1pt}2 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3}a = \frac{2\sqrt{3} }{3}a\hspace{1pt}\)と求められます。