◆第問目！
\(f'(-2)=0\hspace{1pt},\hspace{1pt}f'(1)=0\) と \(f(-2)-f(1)=27\hspace{1pt}\)という条件から解くこともできますが、3つの変数\(\hspace{1pt}a,b,c\hspace{1pt}\)の連立方程式となるため計算がややこしいです。
\(y'=3ax^2 + 2bx + c \hspace{2pt}\)から、微分した関数の二次の係数が\(\hspace{1pt}3a\hspace{1pt}\)となることを利用し $$y'= 3a(x+2)(x-1)$$ とおくことで、変数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)だけを求める計算とすることができます。
【解答】
関数 \(\displaystyle {f(x)=ax^3+bx^2 +cx}\) を微分すると $${f'(x) =3ax^2 +2bx +c}$$ となります。
すなわち、\(f'(x)\hspace{1pt}\)の二次の係数は\(\hspace{1pt}3a\hspace{1pt}\)となります。
また、\(x=-2\hspace{1pt}\)で極大値、\(\hspace{1pt}x=1\hspace{1pt}\)で極小値をとることから $$f'(x)= 3a(x+2)(x-1)$$ となります。
この\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)を積分すると $$ \begin{aligned} f(x) &= 3a \int (x^2 +x -2) dx\\[0.5em] &= 3a \left( \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 -2x\right) +C\\[0.5em] &= a\left( x^3 + \frac{3}{2}x^2 -6x\right) +C\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の定数項は\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)であることから、 $${f(x) = a\left( x^3 + \frac{3}{2}x^2 -6x\right)}$$ となります。
極大値と極小値の差を求めると
極値の差分が\(\hspace{1pt}27\hspace{1pt}\)であることから $${\frac{27}{2} a = 27}$$ すなわち $${ a = 2}$$
したがって、元の関数は $${y= 2x^2 +3x^2 -12x}$$ となることから $$ \begin{aligned} a = & 2 \\[1em] b = & 3 \\[1em] c = & -12 \\[1em] \end{aligned} $$ と求められます。