【解答のポイント】
極限値を微分係数の定義
$${\displaystyle}f'(a)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
の形が現れるように変形します。
【解答】
与えられた式を変形すると、以下のように変形されます。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \lim_{h \rightarrow 0}{ \frac{f(a+2h) - f(a-4h)}{h}} \\[1em]
& = \lim_{h \rightarrow 0}{ \frac{f(a+2h) -f(a) + f(a)- f(a-4h)}{h}}\\[1em]
& = \lim_{h \rightarrow 0}{ \frac{f(a+2h) -f(a) }{h}} - \lim_{h \rightarrow 0}{ \frac{f(a-4h) -f(a) }{h}}\\[1em]
& = \lim_{h \rightarrow 0}{ \frac{f(a+2h) -f(a) }{2h} \cdot 2} - \lim_{h \rightarrow 0}{ \frac{f(a-4h) -f(a) }{-4h}\cdot (-4)}\hspace{10pt}\\[1em]
& =2 f'(a) + 4 f'(a)\\[1em]
& = 6 f'(a)\\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・導関数の定義