◆第問目!
ある区間において\(\hspace{1pt}f(x) \geqq a\hspace{1pt}\)であることを証明するには、その区間で関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の最小値が\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)であることを示します。
本問は、両辺に変数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)があるため、移項して\(\hspace{1pt}f(x) \geqq a\hspace{1pt}\)の式に変形して証明します。
【解答】
\(x^3 \geqq 3x^2 -4\hspace{1pt}\)の右辺を左辺に移項した $${x^3 - 3x^2 +4 \geqq 0}$$ を証明することで、元の不等式を証明します。
不等式の左辺を\(\hspace{2pt}f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{2pt}\)とおいて、\( x \geqq 0\hspace{1pt}\)における関数\(\hspace{1pt}f(x) \hspace{1pt}\)の最小値が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)以上であることを示します。
\(f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{1pt}\)のとき $${f'(x) = 3x^2 -6x}$$ となります。
\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 3x^2 -6x & =0\\[0.5em] 3x(x-2) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = 0,2\hspace{1pt}\)となります。
ここで、\(x = 0,2\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。
\({f'(x)=3x(x-2) }\) より
\({x < 0}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
\({0 < x < 2\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({ x > 2}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。
よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=0}\) で極大値、\({x=2}\) で極小値をとります。
以上から、増減表を作ると 以下のようになります。
上記の増減表から、\(f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。
以上から、\(x \geqq 0\hspace{1pt}\)における関数\(\hspace{1pt}f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{2pt}\)の最小値は\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)となります。
したがって、\(x \geqq 0\hspace{1pt}\)のとき $${x^3 - 3x^2 +4 \geqq 0}$$ すなわち $${x^3 \geqq 3x^2 -4}$$ が成り立ちます。