不等式を証明する問題

【解答】

$x^3 \geqq 3x^2 -4\hspace{1pt}$の右辺を左辺に移項した $${x^3 - 3x^2 +4 \geqq 0}$$ を証明することで、元の不等式を証明します。

不等式の左辺を$\hspace{2pt}f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{2pt}$とおいて、$x \geqq 0\hspace{1pt}$における関数$\hspace{1pt}f(x) \hspace{1pt}$の最小値が$\hspace{1pt}0\hspace{1pt}$以上であることを示します。

$f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{1pt}$のとき $${f'(x) = 3x^2 -6x}$$ となります。

${f'(x)=0}$ を解くと $$\begin{aligned} 3x^2 -6x & =0\\[0.5em] 3x(x-2) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって$\hspace{3pt}x = 0,2\hspace{1pt}$となります。

ここで、$x = 0,2\hspace{1pt}$の前後における $\displaystyle{f'(x)}$ の符号の変化を調べます。

${f'(x)=3x(x-2) }$ より
　${x < 0}$　　　のとき ${f'(x) > 0}$
　${0 < x < 2\hspace{2pt}}$ のとき ${f'(x) < 0}$
　${ x > 2}$ 　　　のとき ${f'(x) > 0}$
となります。

よって、関数$\displaystyle {f(x)}$ は ${x=0}$ で極大値、${x=2}$ で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、$f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{1pt}$のグラフは以下のようになります。

以上から、$x \geqq 0\hspace{1pt}$における関数$\hspace{1pt}f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{2pt}$の最小値は$\hspace{1pt}0\hspace{1pt}$となります。

したがって、$x \geqq 0\hspace{1pt}$のとき $${x^3 - 3x^2 +4 \geqq 0}$$ すなわち $${x^3 \geqq 3x^2 -4}$$ が成り立ちます。