不等式を証明する問題

【解答】

\(x^3 \geqq 3x^2 -4\hspace{1pt}\)の右辺を左辺に移項した $${x^3 - 3x^2 +4 \geqq 0}$$ を証明することで、元の不等式を証明します。

不等式の左辺を\(\hspace{2pt}f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{2pt}\)とおいて、\( x \geqq 0\hspace{1pt}\)における関数\(\hspace{1pt}f(x) \hspace{1pt}\)の最小値が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)以上であることを示します。

\(f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{1pt}\)のとき $${f'(x) = 3x^2 -6x}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 3x^2 -6x & =0\\[0.5em] 3x(x-2) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = 0,2\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = 0,2\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=3x(x-2) }\) より
　\({x < 0}\)　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
　\({0 < x < 2\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
　\({ x > 2}\) 　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=0}\) で極大値、\({x=2}\) で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、\(f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。

以上から、\(x \geqq 0\hspace{1pt}\)における関数\(\hspace{1pt}f(x)=x^3 - 3x^2 +4\hspace{2pt}\)の最小値は\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)となります。

したがって、\(x \geqq 0\hspace{1pt}\)のとき $${x^3 - 3x^2 +4 \geqq 0}$$ すなわち $${x^3 \geqq 3x^2 -4}$$ が成り立ちます。