三次方程式の実数解の個数

【解答】

\(f(x)=x^3-6x+4\hspace{1pt}\)のとき $${f'(x) = 3x^2 -6}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 3(x^2-2) & =0\\[0.5em] 3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = -\sqrt{2},\sqrt{2}\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = -\sqrt{2},\sqrt{2}\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) }\) より
　\({x < -\sqrt{2}}\)　　　 のとき \({f'(x) > 0}\)
　\({-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
　\({ x > \sqrt{2}}\) 　　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=-\sqrt{2}}\) で極大値、\({x=\sqrt{2}}\) で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、\(f(x)=x^3-6x+4\hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。

以上から、\(y=x^3-6x+4\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸の交点の個数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個であることから、方程式\(\hspace{1pt}x^3-6x+4=0\hspace{1pt}\)の実数解の個数は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個となります。