三次方程式の実数解の個数
◆第問目！
本問のような方程式の実数解の個数は\(\hspace{1pt}y=x^3+3x^2-4\hspace{1pt}\)のグラフと\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸の交点の個数から求めることができます。
そのため、増減表を作成し\(\hspace{1pt}y=x^3+3x^2-4\hspace{1pt}\)のグラフをかくことで実数解の個数を求められます。
【解答】
\(f(x)=x^3+3x^2-4\hspace{1pt}\)のとき $${f'(x) = 3x^2 +6x}$$ となります。
\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 3x^2 +6x & =0\\[0.5em] 3x(x+2) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = -2,0\hspace{1pt}\)となります。
ここで、\(x = -2,0\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。
\({f'(x)=3x(x+2) }\) より
\({x < -2}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
\({-2 < x < 0\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({ x > 0}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。
よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=-2}\) で極大値、\({x=0}\) で極小値をとります。
以上から、増減表を作ると 以下のようになります。
上記の増減表から、\(f(x)=x^3+3x^2-4\hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。
以上から、\(y=x^3+3x^2-4\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸の交点の個数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個であることから、方程式\(\hspace{1pt}x^3+3x^2-4=0\hspace{1pt}\)の実数解の個数は\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個となります。