絶対値のついた三次関数のグラフ

【解答のポイント】
関数のグラフは
　① 導関数\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)を求める
　② \(y'=0\hspace{1pt}\)の解を求める
　③ \(y'=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)の符号の変化を調べる
という手順で増減表を作った後、増減表を参考にグラフをかきます。

本問は絶対値を含む関数ですが、まず絶対値を考えずにグラフを描きます。
次に、\(y < 0 \hspace{1pt}\)の範囲のグラフを\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸に関して対称に折り返すことで絶対値付きのグラフを描きます。

【解答】
\(\displaystyle {f(x)=x^3 -3x^2 +2}\) とすると $${f'(x)=3x^2-6x}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 3x^2-6x & =0\\[0.5em] 3x(x-2) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = 0,2\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = 0,2\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=3x(x-2) }\) より
　　\({x < 0}\)　　 のとき \({f'(x) > 0}\)
　　\({0 < x < 2\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
　　\({ x > 2}\) 　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=0}\) で極大値、\({x=2}\) で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表を参考に、\(y < 0 \hspace{1pt}\)の範囲を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸に関して対称に折り返したグラフを作成すると、以下の実線となります。