三次関数のグラフ
◆第問目！
関数のグラフは
① 導関数\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)を求める
② \(y'=0\hspace{1pt}\)の解を求める
③ \(y'=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)の符号の変化を調べる
という手順で増減表を作った後、増減表を参考にグラフをかきます。
【解答】
\(\displaystyle {f(x)=-x^3+3x^2+9x+5}\) とすると $${f'(x)=-3x^2+6x +9}$$ となります。
\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} -3x^2+6x +9& =0\\[0.5em] -3(x^2-2x-3) & =0\\[0.5em] -3(x+1)(x-3) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = -1,3\hspace{1pt}\)となります。
ここで、\(x = -1,3\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。
\({f'(x)=-3(x+1)(x-3) }\) より
\({x < -1}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({-1 < x < 3\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
\({ x > 3}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
となります。
よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=-1}\) で極小値、\({x=3}\) で極大値をとります。
以上から、増減表を作ると 以下のようになります。
この増減表からグラフを描くと、以下のようになります。
