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三次関数のグラフ

◆第問目!

【 数Ⅱ : 難易度 ★ 】
 次の関数のグラフの概形をかけ $$\large{y=-x^3+3x^2+9x+5}$$

関数のグラフは
 ① 導関数\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)を求める
 ② \(y'=0\hspace{1pt}\)の解を求める
 ③ \(y'=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)の符号の変化を調べる
という手順で増減表を作った後、増減表を参考にグラフをかきます。

【解答】

\(\displaystyle {f(x)=-x^3+3x^2+9x+5}\) とすると $${f'(x)=-3x^2+6x +9}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} -3x^2+6x +9& =0\\[0.5em] -3(x^2-2x-3) & =0\\[0.5em] -3(x+1)(x-3) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\hspace{3pt}x = -1,3\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = -1,3\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=-3(x+1)(x-3) }\) より
  \({x < -1}\)   のとき \({f'(x) < 0}\)
  \({-1 < x < 3\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
  \({ x > 3}\)    のとき \({f'(x) < 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=-1}\) で極小値、\({x=3}\) で極大値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。 三次関数のグラフをかく問題における増減表

この増減表からグラフを描くと、以下のようになります。 三次関数のグラフをかく問題

出題範囲】 【難易度



 




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