三次関数のグラフ

【解答】

$\displaystyle {f(x)=-x^3+3x^2+9x+5}$ とすると $${f'(x)=-3x^2+6x +9}$$ となります。

${f'(x)=0}$ を解くと $$\begin{aligned} -3x^2+6x +9& =0\\[0.5em] -3(x^2-2x-3) & =0\\[0.5em] -3(x+1)(x-3) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって$\hspace{3pt}x = -1,3\hspace{1pt}$となります。

ここで、$x = -1,3\hspace{1pt}$の前後における $\displaystyle{f'(x)}$ の符号の変化を調べます。

${f'(x)=-3(x+1)(x-3) }$ より
　　${x < -1}$　　 のとき ${f'(x) < 0}$
　　${-1 < x < 3\hspace{2pt}}$ のとき ${f'(x) > 0}$
　　${ x > 3}$ 　　　のとき ${f'(x) < 0}$
となります。

よって、関数$\displaystyle {f(x)}$ は ${x=-1}$ で極小値、${x=3}$ で極大値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

この増減表からグラフを描くと、以下のようになります。