最大値と最小値を求める問題

【解答のポイント】

三次関数の最大値・最小値を求める問題では、関数を微分して増減表を作ります。

増減表から、定義域の端と極大値・極小値の大小関係を調べることで、最大値と最小値を求めます。

【解答】

関数 \(\displaystyle {y=x^3+3x^2 -9x-5}\) を微分すると $${f'(x) =3x^2 +6x -9}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$ \begin{aligned} f'(x) &=3x^2 +6x -9\\[0.5em] &= 3(x^2+2x-3)\\[0.5em] &= 3(x-1)(x+3)\\ \end{aligned}$$

であることから $${3(x-1)(x+3) = 0}$$ すなわち、\({x=1,\hspace{2pt}-3}\) となります。

ここで、増減表を書くと以下のようになります。

以上から、関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)は\({\hspace{1pt}x=-3\hspace{1pt}}\)で最大値\(\hspace{1pt}22\hspace{1pt}\)、\({\hspace{1pt}x=1\hspace{1pt}}\)で最小値\(\hspace{1pt}-10\hspace{1pt}\)をとります。

問題の関数のグラフは以下のようになります。