曲線の外の点から引かれた接線

【解答のポイント】

曲線の外の点から引かれた接線を求める問題では、先に接点の座標を\(\displaystyle\hspace{1pt}\left(a,-\frac{1}{3}a^3-a-2 \right)\hspace{1pt}\)とおいて接線の方程式を作ります。

接点の座標が\(\displaystyle\hspace{1pt}\left(a,f(a) \right)\hspace{1pt}\)である接線の方程式は $${y=f'(a)(x-a)+f(a)}$$ と表されます。

この接線の方程式が点\(\hspace{1pt}(2,-4)\hspace{1pt}\)を通ることを条件とし、\(a\hspace{1pt}\)の値を求めます。

【解答】

関数 \(\displaystyle {f(x)=-\frac{1}{3}x^3-x-2}\) とすると $${f'(x) =-x^2 -1}$$ となります。

ここで、接点の\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)座標を\(\displaystyle\hspace{1pt}x=a\hspace{1pt}\)とします。

接線の方程式の公式 $${y=f'(a)(x-a)+f(a)}$$ から、求める接線の方程式は

すなわち $${y=-(a^2+1)x +\frac{2}{3}a^3-2}$$ となります。

この接線が点\(\hspace{1pt}(2,-4)\hspace{1pt}\)を通ることから

よって $${a=0,3}$$

したがって、求める接線の方程式は $${y=-x-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}y=-10x+16}$$ となります。