接線を求める問題

【解答のポイント】

接点の座標が\(\displaystyle\hspace{1pt}\left(a,f(a) \right)\hspace{1pt}\)である接線の方程式は $${y=f'(a)(x-a)+f(a)}$$ と表されます。

すなわち、接線の方程式は『接点の座標\(\displaystyle\hspace{1pt}\left(a,f(a) \right)\hspace{1pt}\)』と『接線の傾き\(\displaystyle\hspace{1pt}f'(a)\hspace{1pt}\)』が分かれば求めることができます。

本問は、接線の傾きが与えられているため『接点の座標\(\displaystyle\hspace{1pt}\left(a,f(a) \right)\hspace{1pt}\)』を求めれば、接線の方程式を導くことができます。

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}x=a\hspace{1pt}\)における傾きは\(\hspace{1pt}f'(a)\hspace{1pt}\)であることから $$f'(a)=5$$ を解くことで、接線の傾きが\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)のときの\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)座標の値を求めることができます。

【解答】

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x\hspace{1pt}\)とすると、\(\hspace{1pt}f'(x)=x^2-4\hspace{1pt}\)となります。

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}x=a\hspace{1pt}\)における傾きは\(\hspace{1pt}f'(a)\hspace{1pt}\)であることから $$f'(a)=5$$ すなわち $$ \begin{aligned} a^2 -4 & = 5 \\[0.7em] a^2 & = 9\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって $${a=\pm 3}$$ となります。

接線の方程式の公式 $${y=f'(a)(x-a)+f(a)}$$ から、求める接線の方程式は $${y=5(x-3)-3}$$ と $${y=5(x+3)+3}$$ となります。

したがって、求める接線の方程式は $${y=5x-18\hspace{1pt},\hspace{1pt}y=5x+18}$$ となります。

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