二次関数を求める問題

【解答のポイント】

本問は、未知の関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)を導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)を含む方程式から求める問題です。

未知の関数が二次関数と指定があるため $$f(x)=ax^2+bx+c $$ と3つの定数\(\hspace{1pt}a , b ,c\hspace{1pt}\)を用いて表すことができます。

この式を方程式に代入することで関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)を求めることができます。

【解答】

求める二次関数\({f(x)}\)を $${f(x)=ax^2+bx+c}$$ とおくと $${f'(x)=2ax+b}$$ となります。

条件の等式の左辺を計算すると

よって、問題の等式は以下のようになります。 $${3ax^2 + 2bx + c = 2x^2 +x -1}$$ 両辺の係数を比較すると

$$ \begin{aligned} 3a & = 2 \\[0.7em] 2b & = 1\\[0.7em] c & = -1\\[0.7em] \end{aligned} $$ すなわち $$ \begin{aligned} a & = \frac{2}{3} \\[0.7em] b & = \frac{1}{2}\\[0.7em] c & = -1\\[0.7em] \end{aligned} $$

よって、求める二次関数は $${f(x) = \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{2}x -1}$$

【関連するページ】
・導関数の定義