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三次関数の導関数を求める問題

◆第問目！

【 数Ⅱ : 難易度 ★ 】
　関数\(\hspace{2pt}y=2x^3+4\hspace{2pt}\)の導関数を定義に従って求めよ

関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は以下の式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

【解答のポイント】

問題文に『定義に従って導関数を求めよ』という指示がある場合、以下の関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)を定義する式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

【解答】

関数\(\hspace{2pt}y=2x^3+4\hspace{2pt}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)を求めると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}f'(x) & = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[0.7em] & =\lim_{h \to 0}\frac{2(x+h)^3+4 - (2x^3+4)}{h}\\[0.7em] & =\lim_{h \to 0}\frac{2(x^3+3x^2h + 3x h^2 + h^3) -2x^3 }{h}\hspace{10pt}\\[0.7em] & =\lim_{h \to 0}\frac{6x^2h + 6x h^2 + 2h^3 }{h}\\[0.7em] & = \lim_{h \to 0}(6x^2 + 6x h + 2h^2 )\\[0.7em] & = 6x^2 \end{aligned} $$

したがって、関数\(\hspace{2pt}y=2x^3+4\hspace{2pt}\)の導関数は\(\hspace{1pt}y'=6x^2\hspace{1pt}\)となります。

【関連するページ】
・導関数の定義

【出題範囲】　【難易度】



　



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